Equazioni elaborate e pubblicate dall'autore sull'utilizzazione e dimensionamento dei turboalternatori con riferimento alle grandezze statoriche

Come già scritto al paragrafo VII 2:

"Le dimensioni principali * di macchina così come considerate dall'autore sono il diametro interno statorico e la lunghezza totale d'indotto; essi sono legati alla cifra o coefficiente di utilizzazione di macchina secondo l'equazione:

Cu = P/(D1 *L * n)

formula elaborata e pubblicata a suo tempo dall'autore (vedasi paragrafo successivo) sulla rivista Elettrificazione

dove:
Cu è il coefficiente o cifra di utilizzazione di macchina
P la potenza apaprente nominale in kVA
D1 diametro interno statorico in metri
L lunghezza totale d'indotto in metri
n numero di giri al minuto

Nel caso che la lunghezza del dente largo al traferro sia circa 1/3 del passo polare d'induttore, si dimostra che:

Cu = 0,122 * K1 * W1 * B1/1000

formula elaborata e pubblicata dall'autore (vedasi paragrafo successivo) sulla rivista Elettrificazione

dove Cu è il coefficiente o cifra di utilizzazione di macchina
K1 fattore d'avvolgimento
W1 densità lineare di corrente statorica in A/m
B1 induzione al traferro in corrispondenza del diametro B1

Da quest'ultima formula si deduce chiaramente che la grandezza Cu indica il grado di utilizzazione/sfruttamento dei materiali magnetici ed elettrici della macchina".

Dimostrazione delle formule di cui sopra
E' noto che la potenza di un turboalternatore può essere messa in relazione con alcune grandezze tipiche della macchina:
diametro esterno di statore
diametro esterno di rotore
lunghezza ideale di armatura
ecc. ecc.
In questa sede si propone un metodo di calcolo attraverso il quale la potenza della macchina diviene funzione di sole grandezze statoriche.
Introduciamo le seguenti grandezze:

P potenza nominale in VA
V tensione nominale (concatenata) in V
I corrente nominale in A
E f.e.m. indotta in V
f frequenza in Hz
n numero di giri in g/m
K fattore di avvolgiemnto adimensionale
K1 fattore di avvolgiemnto relativo alla prima armonica adimensionale
? flusso al traferro relativo ad un polo in Wb
?1 flusso di prima armonica in Wb
Bm induzione magnetica media al traferro, in corrispondenza del passo polare dell'induttore in T
B1 induzione magnetica al traferro, in corrispondenza del diametro D1 in T
B2 induzione magnetica al traferro, in corrispondenza del diametro D2 in T
D1 diametro interno statorico in m
D2 diametro esterno rotorico
?2 passo polare d'induttore
W1 densità lineare di corrente statorica in A/m
L1 lunghezza totale di armatura in m
p numero dei poli
q numero di cave per polo e per fase
n' numero conduttori statorici per cava
N'm numero di conduttori in serie di una fase statorica
Z numero di cave statoriche
Cu coefficiente di utilizzazione di macchina

Con il collegamento a stella si eliminano le armoniche di ordine 3 n (n = 1, 3, 5, 7 ecc.) nella tensione concatenata di macchina; con l'avvolgimento a passo accorciato e a bobine disuguali si riesce a diminuire l'ampiezza di determinate armoniche della tensione di fase della macchina.
Tramite questi accorgimenti la f.e.m.i. è praticamente sinusoidale e data dalla formula:

E = V/1,73 = 2,22 * K * f * F * N'm (1)

note le seguenti relazioni:

f = n * p/120 (2)

N'm = n' * p * q (3)

W1 = (Z * I)/(3,14 * D1) = (3 * n' * p * q *I)/(3,14 * D1) (4)

?2 = 3,14 * D2/p (5)

B2 = (B1 * D1)/D2 (6)

?1 = ? = Bm * ?2 * L1 (7) ?1 = ? è approssimato ma vicino al vero

K1 = K (8) approssimato ma vicino al vero

B2 = 1,5 Bm (9)

supposta una grandezza del dente largo rotorico al traferro pari a circa 1/3 del passo polare ?2

possiamo scrivere:

P = 1,73 * V * I (10)

come una delle equazioni cercate:

P = 0,122 * n * (K1 * B1 * W1 * L1 * D1 * D1) (11)


Da questa equazione ne deriva la seguente:

Cu = 0,122 * K1 * W1 * B1 (12)

ponendo la (12) nella (11), l'equazione (11) diverrà:

P = Cu * n * L1 * D1 * D1 (13)

Tre equazioni in cui la grandezza calcolata è funzione di sole grandezze statoriche:

P = 0,122 * n * (K1 * B1 * W1 * L1 * D1 * D1)

Cu = 0,122 * K1 * W1 * B1

P = Cu * n * L1 * D1 * D1

Da quest'ultima equazione (13) risulterà anche che:

Cu = P / (n * L1 * D1 * D1)

L1 * D1 * D1 = P / (n * Cu)

Vediamo l'importanza delle relazioni di cui sopra:

- facile calcolabilità in quanto riferite ad una sola parte della macchina cioè alla parte fissa della macchina (statore)

- potenza di macchina funzione delle caratteristiche di utilizzazione e delle dimensioni

- utilizzazione di macchina dipendente dalla densità lineare di corrente e dall'induzione (sfruttamento del rame e del ferro)

Inoltre ricordando che:

Qcc = En / (Xs * In) = 1/ Xos

essendo:

Pn = 1,73 * Vn * In = 3 * En * In

si ricava che Pn è:

Pn = 3 * En * En/(Qcc * Xs)

in relazione alla tensione concatenata di macchina:

Pn = Vn * Vn / (Qcc * Xs)

Ritornando alla:

P = 0,122 * n * (K1 * B1 * W1 * L1 * D1 * D1)
si può scrivere:

0,122 * n * (K1 * B1 * W1 * L1 * D1 * D1 = Vn * Vn / (Qcc * Xs)

da cui il legame fra il rapporto di corto circuito e le dimensioni di macchina.
In maniera più concisa:
Cu * L1 * D1 * D1 = Vn * Vn / (Qcc * Xs)